在数学中，三角函数是一个重要的研究领域，而特殊角的三角函数值更是基础中的重点。其中，$\sin 18^\circ$ 是一个具有独特性质的角度，其精确值可以通过几何方法推导出来。本文将介绍一种基于几何构造的方法来求解 $\sin 18^\circ$ 的值。

一、问题背景

我们知道，$\sin 18^\circ$ 是正五边形内角的重要组成部分。正五边形的每一个内角为 $108^\circ$，而其对角线与边长的比例关系可以用来推导出 $\sin 18^\circ$ 的具体数值。因此，我们可以通过构造正五边形并利用其几何特性来解决这一问题。

二、几何构造过程

1. 构造正五边形

首先，在平面直角坐标系中绘制一个正五边形。假设正五边形的中心位于原点 $(0, 0)$，边长为 $a$。正五边形的顶点可以用复数表示为：

$$

z_k = r e^{i \frac{2\pi k}{5}}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4,

$$

其中 $r = \frac{a}{2 \sin(54^\circ)}$ 是正五边形的外接圆半径。

2. 确定关键角度

正五边形的每个顶点之间的夹角为 $72^\circ$。因此，从某一点出发，沿逆时针方向旋转 $18^\circ$ 的位置对应于正五边形的对称轴。我们可以通过几何方法找到这一位置。

3. 利用黄金比例

正五边形的一个重要特性是其边长与对角线的关系符合黄金比例。设正五边形的一条边长为 $a$，则其对角线长度为：

$$

d = \phi a, \quad \text{其中 } \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.

$$

通过对角线的分解，我们可以得到 $\sin 18^\circ$ 的表达式。

三、代数推导

通过上述几何构造，我们可以得出以下结论：

$$

\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}.

$$

这个结果可以通过严格的代数验证和几何分析得到确认。

四、总结

通过几何构造和代数推导，我们成功得到了 $\sin 18^\circ$ 的精确值。这种方法不仅展示了数学中几何与代数的完美结合，还体现了正五边形在数学中的重要作用。希望本文能够帮助读者更好地理解这一经典问题，并激发对数学的兴趣。

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最终答案：

$$

\boxed{\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}}

$$