【常见泰勒公式10个】泰勒公式是数学分析中非常重要的工具，广泛应用于函数近似、数值计算和物理建模等领域。它通过将一个光滑函数在某一点展开为无穷级数的形式，来逼近原函数。下面总结了10个常见的泰勒公式（或麦克劳林公式，即在0点展开），适用于不同类型的函数。
一、
泰勒展开的核心思想是利用函数在某一点的导数值来构造一个多项式，从而对函数进行局部近似。当展开点为0时，该展开称为麦克劳林展开。以下是常见的10个泰勒公式，涵盖指数函数、三角函数、反三角函数、对数函数等基本函数类型，便于学习和应用。
二、常见泰勒公式表格
| 序号 | 函数表达式 | 展开点 | 泰勒展开式（前几项） | 收敛范围 | ||
| 1 | $ e^x $ | 0 | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | 0 | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | 0 | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | 0 | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| 5 | $ \arctan x $ | 0 | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 6 | $ \arcsin x $ | 0 | $ x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 7 | $ (1+x)^a $ | 0 | $ 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 8 | $ \tan x $ | 0 | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ | $ | x | < \frac{\pi}{2} $ |
| 9 | $ \ln(1+x) $ | 1 | $ \ln 2 + \frac{(x-1)}{2} - \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(x-1)^3}{24} - \cdots $ | $ 0 < x \leq 2 $ | ||
| 10 | $ \sinh x $ | 0 | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
三、小结
以上10个泰勒公式涵盖了大部分常见的初等函数及其展开形式，尤其适合用于数学分析、工程计算和物理问题中的近似求解。掌握这些公式有助于理解函数的局部行为，并在实际应用中提高计算效率。对于某些复杂函数，如$\arcsin x$、$\tan x$等，其泰勒展开可能需要更复杂的系数推导，但它们的结构通常遵循一定的规律。
